【题目】已知椭圆
，离心率为
，直线
恒过
的一个焦点
.
（1）求的标准方程；
（2）设
为坐标原点，四边形
的顶点均在上，
交于，且
，若直线
的倾斜角的余弦值为
，求直线
与
轴交点的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）将
转化成直线点斜式方程形式，求出所过的恒点，进而知道椭圆的焦点，再根据椭圆的离心率公式进行求解即可.
（2）根据向量等式，可以确定
分别是
的中点.设
，求出直线
的方程，与椭圆方程联立，消元，利用一元二次方程根与系数关系，求出
的坐标，同理求出
点坐标，求出直线
的方程，最后求出直线与
轴交点的坐标.
（1）设椭圆的半焦距为
，可化为
，所以直线恒过点
，所以点
，可得
.因为离心率为
，所以
，解得
，由
得
，所以
的标准方程为.
（2）因为
，所以
.由
得分别是的中点.设.由直线的倾斜角的余弦值为
，得直线的斜率为2，所以
，联立
消去
，得
.显然，
，且
， 
，所以
，可得
，同理可得
，所以
，所以
.令
，得
，所以直线与轴交点的坐标为.
快乐暑假暑假能力自测中西书局系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某次考试后，对全班同学的数学成绩进行整理，得到表：
分数段 |
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人数 | 5 | 15 | 20 | 10 |
将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】（本小题满分13分）如图，在直角坐标系
中，角
的顶点是原点，始边与
轴正半轴重合．终边交单位圆于点
，且
，将角
的终边按逆时针方向旋转
，交单位圆于点
，记
．
（1）若
，求
；
（2）分别过
作
轴的垂线，垂足依次为
，记
的面积为
，
的面积为
，若
，求角
的值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过
的包裹收费
元；重量超过
的包裹，除
收费
元之外，超过
的部分，每超出
（不足
，按
计算）需再收
元.该公司将最近承揽的
件包裹的重量统计如下：
包裹重量（单位： |
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包裹件数 |
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公司对近
天，每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围 |
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包裹件数 （近似处理） |
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天数 |
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以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来
天内恰有
天揽件数在
之间的概率；
（2）（i）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（ii）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员
人，每人每天揽件不超过
件，工资
元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减
人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】对于定义在
上的函数
，若函数
满足：①在区间上单调递减；②存在常数p，使其值域为
，则称函数
为的“渐近函数”；
（1）证明：函数
是函数
的渐近函数，并求此时实数p的值；
（2）若函数
，证明：当
时，
不是的渐近函数.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数且 
）曲线
的参数方程为
（
为参数，且
），以
为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为：
，曲线
的极坐标方程为
.
（1）求与的交点到极点的距离；
（2）设与交于
点，与交于
点，当
在
上变化时，求
的最大值．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有
或者
两种可能，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为，记抽到的废品数为
，求的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买.
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