Question

【题目】已知关于x的方程：x2+2（a﹣1）x+2a+6=0．
（Ⅰ）若该方程有两个不等实数根，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若该方程有两个不等实数根，且这两个根都大于1，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2a+6，x∈[﹣1，1]，记此函数的最大值为M（a），最小值为N（a），求M（a），N（a）的解析式．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵该方程有两个不等实数根，∴△=4（a﹣1）2﹣4（2a+6）＞0，

解得a＜﹣1，或a＞5；

（Ⅱ）该方程有两个不等实数根，根据（Ⅰ）便知，a＜﹣1，或a＞5，且这两个根都大于1，

∴ ＞1，

即﹣2a＞ ，

∴﹣a＞ ，

∴ ，

解得： ，

∴﹣ ．

∴实数a的取值范围为（﹣ ，﹣1）；

（Ⅲ）f（x）的对称轴为x=1﹣a；

∴①1﹣a≤﹣1，即a≥2时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增；

∴M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（﹣1）=9；

②﹣1＜1﹣a≤0，即1≤a＜2时，M（a）=f（1）=4a+5，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；

③0＜1﹣a＜1，即0＜a＜1时，M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1﹣a）=﹣a2+4a+5；

④1﹣a≥1，即a≤0时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减；

∴M（a）=f（﹣1）=9，N（a）=f（1）=4a+5；

∴综上得， ，N（a）=

【解析】（Ⅰ）由题意可知，二次方程有两个不等的实根，即得△＞0求解即可。（Ⅱ）根据题意两个根均大于一，由求根公式限制即得不等式，解出即可。（Ⅲ）由题意函数的对称轴x=1﹣a，利用二次函数的性质，对a的值分情况a>1,和a<1讨论即可得出 M ( a )，再对a分情况讨论，a>2,0<a<2,a<0进而得到N（a）。