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如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF=2,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.
(Ⅰ)求证:FH∥平面EDB;
(Ⅱ)求证:AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求二面角B-DE-C的大小.
考点:用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定
专题:空间位置关系与距离,空间角
分析:证明FH⊥平面ABC.以H为坐标原点,
HB
为x轴正向,
HF
为z轴正向,建立如图所示坐标系.求出A,B,C,D,E,F的坐标;
(Ⅰ)利用向量共线证明FH∥平面EDB;
(Ⅱ)利用空间向量的数量积,以及直线与平面垂直的判定定理证明AC⊥平面EDB;
(Ⅲ)求出平面BDE的法向量为
n1
,平面CDE的法向量为
n2
,利用空间向量的数量积即可求二面角B-DE-C的大小.
解答: 证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB⊥BC.
又EF∥AB,∴EF⊥BC.
又EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH,∴AB⊥FH.
又BF=FC,H为BC的中点,∴FH⊥BC,
∴FH⊥平面ABC.---(2分)

以H为坐标原点,
HB
为x轴正向,
HF
为z轴正向,建立如图所示坐标系.
则A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).
(Ⅰ)证明:设AC与BD的交点为G,连GE,GH,则G(0,-1,0),
GE
=(0,0,1),又
HF
=(0,0,1)∴
HF
GE

GE?平面EDB,HF不在平面EDB内,∴FH∥平面EBD.---(5分)
(Ⅱ)证明:
AC
=(-2,2,0),
GE
=(0,0,1),
AC
GE
=0,∴AC⊥GE.
又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB.---(8分)
(Ⅲ)解:
BE
=(-1,-1,1),
BD
=(-2,-2,0).
设平面BDE的法向量为
n1
=(1,y1,z1),
BE
n1
=-1-y1+z1=0,
BD
n1
=-2-2y1=0,
∴y1=-1,z1=0,即
n1
=(1,-1,0).
CD
=(0,-2,0),
CE
=(1,-1,1).设平面CDE的法向量为
n2
=(1,y2,z2),
n2
CD
=0,y2=0,
n2
CE
=0,1-y2+z2=0,z2=-1,故
n2
=(1,0,-1),
cos<
n1
n2
>=
n1
n2
|
n1
||
n2
|
=
1
2
2
=
1
2

∴<
n1
n2
>=60°,可得二面角B-DE-C为60°.---(12分)
点评:本题考查空间向量在立体几何中的应用,直线与平面的平行与垂直,二面角的大小的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
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.
x
,2s
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.
x
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.
x
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D、-2
.
x
+3,2s

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