Question

已知曲线C：y=x³．
（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程；
（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
（2）由（1）得出的切线方程与函数y=x³组成方程组，解得两组解，从而得出切线与曲线C还有其他的公共点．

解答：解：（1）y'=3x²
y'|_x=1=3，
而切点的坐标为（1，1）
∴曲线y=x³在x=1的处的切线方程为3x-y-2=0
（2）由方程组：

3x-y-2=0 y=x3

解得：

x=1 y=1

或

x=-2 y=-8

故切线与曲线C还有其他的公共点：（-2，-8）．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力和方程思想，属于基础题．