Question

（1）圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一点P（x₀，y₀），求由点P向圆引切线的长度；
（2）在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．

Answer 1

分析：（1）先把x²+y²+Dx+Ey+F=0，通过配方化为标准方程则，明确圆心和半径．再利用圆外有一点P（x₀，y₀），由点P向圆引切线，切线长、半径和PO组成直角三角形；再根据勾股定理求出切线长．
（2）已知圆x²+y²-4x=0求出圆心和半径为．再根据图形和几何性质，要在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．半径已定，只需要满足直线上一点到圆心的距离最小即可．显然直线上一点P即为，过圆心与直线2x+y+3=0垂直的交点．

解答：解：（1）已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0，则，圆心为O为( -

D

2

，-

E

2

)，半径为

D2+E2-4F

2

；
圆外有一点P（x₀，y₀），由点P向圆引切线，切线长、半径和PO组成直角三角形；
根据勾股定理易得：切线长=

PO2-R2

其中PO=

(x0+ D 2 ) 2+(y0+ E 2 ) 2

R=

D2+E2-4F

2

；
代入上式化简为

x02+y02+Dx0+Ey0+F

即为所求．
（2）已知圆x²+y²-4x=0．易得圆心为（2，0），半径为2．
要在直线2x+y+3=0上求一点P，使由P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．
半径已定，只需要满足直线上一点到圆心的距离最小即可．
显然直线上一点P即为，过圆心与直线2x+y+3=0垂直的交点．
该直线为：x-2y-2=0
联立   2x+y+3=0
求得

x= - 4 5 y=- 7 5

则该点P为（-

4

5

，-

7

5

）即为所求．
答：（1）圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一点P（x₀，y₀），点P向圆引切线的长度为

x02+y02+Dx0+Ey0+F

（2）直线2x+y+3=0上一点P为（-

4

5

，-

7

5

）P向圆x²+y²-4x=0引得的切线长度为最小．

点评：（1）圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的外部有一点P（x₀，y₀），点P向圆引切线的长度为

x02+y02+Dx0+Ey0+F

，可以把此当结论记住． （2）解决直线与圆的相关问题，尽量充分利用直线与圆的相关几何性质加以解决．