Question

已知函数f（x）=x²-alnx，g（x）=bx-

x

+2，其中a，b∈R且ab=2．函数f（x）在[

1

4

，1]上是减函数，函数g（x）在[

1

4

，1]上是增函数．
（1）求函数f（x），g（x）的表达式；
（2）若不等式f（x）≥g（x）对x∈[

1

4

，1]恒成立，求实数m的取值范围．
（3）求函数h（x）=f（x）+g（x）-

1

2

x的最小值，并证明当n∈N^*，n≥2时f（n）+g（n）＞3．

Answer 1

分析：（1）求导函数，根据函数f（x）在[

1

4

，1]上是减函数，函数g（x）在[

1

4

，1]上是增函数，可得a≥2，b≥1，利用ab=2，即可求得函数的解析式；
（2）问题等价转化为m≤

f(x)

g(x)

，利用

f(x)

g(x)

在[

1

4

，1]上是减函数，从而可求实数m的取值范围；
（3）求导函数，可得函数的单调性，从而可得函数的最小值，利用函数的单调性可以证明结论．

解答：（1）解：求导函数可得f′（x）=2x-

a

x

∵函数f（x）在[

1

4

，1]上是减函数，∴对任意的x∈[

1

4

，1]，f′（x）≤0恒成立，所以a≥2x²，所以a≥2；
同理可得b≥1；
∵ab=2，∴a=2，b=1；
∴f（x）=x²-2lnx，g（x）=x-

x

+2；
（2）解：∵f（1）=1＞0，g（

1

4

）=

7

4

＞0，且函数f（x）在[

1

4

，1]上是减函数，函数g（x）在[

1

4

，1]上是增函数．
∴x∈[

1

4

，1]时，f（x）＞0，g（x）＞0，∴m≤

f(x)

g(x)

，
∵(

f(x)

g(x)

)′＜0，∴

f(x)

g(x)

在[

1

4

，1]上是减函数，
∴m≤

f(1)

g(1)

=

1

2

；
（3）解：h（x）=f（x）+g（x）-

1

2

x=x²-2lnx+

1

2

x-

x

+2，则h′（x）=(

x

-1)[

2( x +1)(x+1)

x

+

x +1

2 x

]，当x＞0时，

2( x +1)(x+1)

x

+

x +1

2 x

＞0，∴当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增
∴x=1时，函数取得最小值h（1）=

5

2

；
证明：当n≥2时，h（n）≥h（2）=7-2ln2-

2

＞3，∴h（n）＞3，
∴n∈N^*，n≥2时f（n）+g（n）＞3+

n

2

＞3成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求导，属于中档题．