Question

16．如图所示，ABCD是以原点O为中心、边长为2的正方形，M点坐标为（-4，3），当正方形在满足上述条件下转动时，$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MD}$的取值范围是[15，35]．

Answer 1

分析 由题意可设$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{MO}$的夹角为θ，则$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$=（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{MO}$²+（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$）•$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，再由$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OD}$及$\overrightarrow{MO}$²=25，|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|=2，代入即可得到25+10cosθ，由余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：记$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{MO}$的夹角为θ，
则$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$=（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$）•（$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OD}$）=$\overrightarrow{MO}$²+（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$）•$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OD}$，
由$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OD}$及$\overrightarrow{MO}$²=25，|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|=2，
则$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MD}$=25+|$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OD}$|•|$\overrightarrow{MO}$|•cosθ=25+10cosθ，
由-1≤cosθ≤1，可得$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MD}$的最小值为25-10=15；
最大值为25+10=35．
则$\overrightarrow{MC}•\overrightarrow{MD}$的取值范围是[15，35]．
故答案为：[15，35]．

点评 本题考查向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，同时考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．