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已知函数f(x)=2x-2lnx
(Ⅰ)求函数在(1,f(1))的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的极值;
(Ⅲ)对于曲线上的不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),如果存在曲线上的点Q(x0,y0),且x1<x0<x2,使得曲线在点Q处的切线lP1P2,则称l为弦P1P2的陪伴切线.已知两点A(1,f(1)),B(e,f(e)),试求弦AB的陪伴切线l的方程.
(I)∵y=2x-2lnx,∴y′=2-2×
1
x

∴函数y=2x-2lnx在x=1处的切线斜率为0,
又∵切点坐标为(1,2)
切线方程为y=2;
(Ⅱ)f′(x)=2-
2
x
,x>0
.…(6分)
f′(x)=0,得x=1.
当x变化时,f′(x)与f(x)变化情况如下表:
x(0,1)1(1,+∞)
f′(x)-0+
f(x)单调递减极小值单调递增
∴当x=1时,f(x)取得极小值f(1)=2.没有极大值.…(9分)
(Ⅲ)设切点Q(x0,y0),则切线l的斜率为f′(x0)=2-
2
x0
x0∈(1,e)

弦AB的斜率为kAB=
f(e)-f(1)
e-1
=
2(e-1)-2(1-0)
e-1
=2-
2
e-1
.…(10分)
由已知得,lAB,则2-
2
x0
=2-
2
e-1
,解得x0=e-1,代入函数式得y0=2(e-1)-2ln(e-1)
解出切点坐标(e-1,2(e-1)-2ln(e-1))…(12分)
再由点斜式写出方程y-2(e-1)+2ln(e-1)=
2e-4
e-1
(x-e-1),即:y=
2e-4
e-1
x+2-2ln(e-1)

所以,弦AB的伴随切线l的方程为:y=
2e-4
e-1
x+2-2ln(e-1)
.…(13分)
练习册系列答案
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若曲线y=ex在x=1处的切线与直线2x+my+1=0垂直,则m=(  )
A.-2eB.2eC.-
2
e
D.
2
e

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(2)f(2)是f(x)极大值;
(3)f(-2)是f(x)极大值;
(4)f(3)是f(x)极小值;
(5)f(-3)是f(x)极大值.
其中正确的命题是(  )
A.(1)(2)(3)(4)(5)B.(1)(2)(5)C.(1)(2)D.(3)(4)

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已知函数f(x)=lnx-
1
2
ax2+bx
(a>0),且f′(1)=0.
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(Ⅱ)对于函数f(x)图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2)),使得点M处的切线lAB,则称AB存在“伴随切线”.特别地,当x0=
x1+x2
2
时,又称AB存在“中值伴随切线”.试问:在函数f(x)的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”,若存在,求出A、B的坐标,若不存在,说明理由.

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