Question

16．过抛物线C：y²=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A、B两点，若A到抛物线的准线的距离为5，则|AB|=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 先求出A的坐标，可得直线AB的方程，代入抛物线C：y²=4x，求出B的横坐标，利用抛物线的定义，即可求出|AB|．

解答 解：抛物线C：y²=4x的准线方程为x=-1，焦点F（1，0）．
∵A到抛物线的准线的距离为5，
∴A的横坐标为4，
代入抛物线C：y²=4x，可得A的纵坐标为±4，
不妨设A（4，4），则k_AF=$\frac{4}{3}$，
∴直线AB的方程为y=$\frac{4}{3}$（x-1），
代入抛物线C：y²=4x，可得$\frac{16}{9}$（x-1）²=4x，
即4x²-17x+4=0，
∴x=4或x=$\frac{1}{4}$，
∴B的横坐标为$\frac{1}{4}$，
∴B到抛物线的准线的距离为$\frac{5}{4}$，
∴|AB|=5+$\frac{5}{4}$=$\frac{25}{4}$．
故答案为：$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．