Question

19．已知函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的值域；
（3）当x∈[-π，π]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．
（3）利用正弦函数的减区间，求得f（x）的单调递减区间；再结合x∈[-π，π]，得出结论．

解答 解：（1）由函数f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{2π}{2ω}$=π，
可得ω=1，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，∴函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
即函数f（x）的值域为[-1，2]．
（3）当x∈[-π，π]时，对于f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
求得kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，可得f（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
再结合x∈[-π，π]，可得f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]，[-$\frac{5π}{6}$，-$\frac{π}{3}$]．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性、正弦函数的定义域和值域，正弦函数的减区间，属于中档题．