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2.如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
(1)求证:平面AA1C1C⊥平面A1BD
(2)求直线A1B与平面A1B1CD所成的角.

分析 (1)利用正方形与正方体的性质可得:BD⊥平面AA1C1C,再利用面面垂直的判定定理即可证明;
(2):连接C1B,交B1C于点O,连接A1O.则BO⊥平面A1B1CD,可得∠OA1B为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.利用直角三角形的边角关系即可得出.

解答 (1)证明:由ABCD是正方形可得:BD⊥AC,
由正方体的性质可得:AA1⊥BD,
而AA1∩AC=A,
∴BD⊥平面AA1C1C,
而BD?平面A1BD,
∴:平面AA1C1C⊥平面A1BD.
(2)解:连接C1B,交B1C于点O,连接A1O.
则BO⊥平面A1B1CD,
∴∠OA1B为直线A1B与平面A1B1CD所成的角.
∵sin∠OA1B=$\frac{OB}{{A}_{1}B}$=$\frac{1}{2}$,
∴∠OA1B=$\frac{π}{6}$.
∴直线A1B与平面A1B1CD所成的角$\frac{π}{6}$.

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、直角三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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