Question

已知函数f（x）=ln（1+x²）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求a的值；
（2）讨论f（x）的单调性；
（3）证明：(1+

1

9

)(1+

1

81

)…(1+

1

32n

)＜

e

(n∈N*，e为自然对数的底数）

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），因为f（x）在x=0时取得极值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；
（2）分三种情况：a=0；a≤-1；-1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函数的递增区间；令f′（x）＜0得到函数的递减区间即可；（3）由（2）知当a=-1时函数为减函数，所以得到ln（1+x²）＜x，利用这个结论根据对数的运算法则化简不等式的左边得证即可．

解答：解：（1）∵f′(x)=

2x

1+x2

+a，∵x=0使f（x）的一个极值点，则f'（0）=0，
∴a=0，验证知a=0符合条件．
（2）∵f′(x)=

2x

1+x2

+a=

ax2+2x+a

1+x2

①若a=0时，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减；
②若

a＜0 △≤0

得，当a≤-1时，f'（x）≤0对x∈R恒成立，
∴f（x）在R上单调递减．
③若-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得ax²+2x+a＞0
∴

-1+ 1-a2

a

＜x＜

-1- 1-a2

a

再令f'（x）＜0，可得x＞

-1- 1-a2

a

或x＜

-1+ 1-a2

a

∴f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增，
在(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减
综上所述，若a≤-1时，f（x）在（-∞，+∞）上单调递减；
若-1＜a＜0时，f(x)在(

-1+ 1-a2

a

，

-1- 1-a2

a

)上单调递增(-∞，

-1+ 1-a2

a

)和(

-1- 1-a2

a

，+∞)上单调递减；
若a=0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．
（3）由（2）知，当a=-1时，f（x）在（-∞，+∞）单调递减
当x∈（0，+∞）时，由f（x）＜f（0）=0
∴ln（1+x²）＜x，∴ln[（1+

1

9

）（1+

1

81

）…（1+

1

32n

）]=ln（1+

1

9

）+ln（1+

1

81

）+…+ln（1+

1

32n

）
＜

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

）＜

1

2

，∴（1+

1

9

）（1+

1

81

）…（1+

1

32n

）＜e

1

2

=

e

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，以及会用待定系数法求函数解析式，会利用单调性及对数函数运算证明不等式．会求等比数列的前n项的和．以及利用导数研究函数极值的能力．