Question

某学校举办“有奖答题”活动，每位选手最多答10道题，每道题对应1份奖品，每份奖品价值相同．若选手答对一道题，则得到该题对应的奖品．答对一道题之后可选择放弃答题或继续答题，若选择放弃答题，则得到前面答对题目所累积的奖品；若选择继续答题，一旦答错，则前面答对题目所累积的奖品将全部送给现场观众，结束答题．假设某选手答对每道题的概率均为

2

3

，且各题之间答对与否互不影响．已知该选手已经答对前6道题．
（Ⅰ）如果该选手选择继续答题，并在最后4道题中，在每道题答对后都选择继续答题．
（ⅰ）求该选手第8题答错的概率；
（ⅱ）记该选手所获得的奖品份数为ξ，写出随机变量ξ的所有可能取值并求ξ的数学期望Eξ；
（Ⅱ）如果你是该选手，你是选择继续答题还是放弃答题？若继续答题你将答到第几题？请用概率或统计的知识给出一个合理的解释．

Answer 1

分析：（1）选手答对每道题的概率均为

2

3

，且各题之间答对与否互不影响，本题是一个相互独立事件同时发生的概率．根据选手已经答对前6道题，选手第8题答错包含第8道题答错且第7道题答错．
（2）可以计算一下若选择继续答第7题，则答完该题后获得的奖品份数η的数学期望，得到的期望小于6，选择放弃答题．

解答：解：（1）∵选手答对每道题的概率均为

2

3

，且各题之间答对与否互不影响，
∴本题是一个相互独立事件同时发生的概率．
（i）记“选手答对第i题”为事件A_i，则P（A_i）=

2

3

（i=1、2、3…10）
P（A）=P（A7

.

A8

）=P（A₇）P（

.

A8

）=

2

3

×

1

3

=

2

9

，
该选手第8题答错的概率为

2

9

．
（ii）ξ的所有可能值为0，10
P（ξ=10）=P（A₇A₈A₉A₁₀）=

2

3

×

2

3

×

2

3

×

2

3

=

16

81

P（ξ=0）=1-P（ξ=10）=1-

16

81

=

65

81

∴Eξ=0×

65

81

+10×

16

81

=

160

81

（2）如果我是选手，那么答对前6个题后放弃答题．理由如下：
若选择继续答第7题，则答完该题后获得的奖品份数η的数学期望
Eη=0×

1

3

+7×

2

3

=

14

3

＜6，
∴选择放弃答题．

点评：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象．