Question

【题目】设函数f（x）=x2+aln（x+1）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数F（x）=f（x）+ln 有两个极值点x1 ， x2且x1＜x2 ， 求证F（x2）＞ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

= ，（x＞﹣1），

令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a．

①当△＜0，即a> 时，g（x）＞0，从而f′（x）＞0，

故函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；

②当△=0，即a= 时，g（x）≥0，此时f′（x）≥0，此时f′（x）在f′（x）=0的左右两侧不变号，

故函数f（x）在（﹣1，0）上单调递增；

③当△＞0，即a＜ 时，g（x）=0的两个根为 ， ，

当 ，即a≤0时，x1≤﹣1，当0＜a＜ 时，x1＞﹣1．

故当a≤0时，函数f（x）在（﹣1， ）单调递减，在（ ，+∞）单调递增；

当0＜a＜ 时，函数f（x）在（﹣1， ），（ ，+∞）单调递增，

在（ ， ）单调递减．

（2）解：∵F（x）=f（x）+ln ，∴F′（x）=f′（x），

∴当函数F（x）有两个极值点时0＜a＜ ，0＜ ＜1，

故此时x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），

∴F（x2）= +aln（1+x2）+ln

= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，

设h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，其中﹣ ，

则h′（x）=2x﹣2（2x+1）ln（1+x）﹣2x=﹣2（2x+1）ln（1+x），

由于﹣ 时，h′（x）＞0，

故函数h（x）在（﹣ ，0）上单调递增，

故h（x）．h（﹣ ）= ．

∴F（x2）=h（x2）＞ ．

【解析】（1）由函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞）， = ，令g（x）=2x2+2x+a，则△=4﹣8a．由根的判断式进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．（2）由F′（x）=f′（x），知函数F（x）有两个极值点时，0＜a＜ ，0＜ ＜1，由此推导出x2= ∈（﹣ ，0），且g（x2）=0，即a=﹣（2 +2x2），F（x2）= ﹣（ ）ln（1+x2）+ln ，构造函数h（x）=x2﹣（2x2+2x）ln（1+x）+ln ，能够证明F（x2）＞ ．