Question

利用单调性的定义证明：函数f（x）=

2

x-1

在（1，+∞）上是减函数，并求函数f（x）=

2

x-1

，x∈[2，6]的最大值和最小值．

Answer 1

分析：利用函数单调性的定义进行证明，并利用函数的单调性求函数的最值．

解答：解：在（1，+∞）上任意设两个实数x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，则1＜x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-1)-2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，
∵1＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）=

2

x-1

在（1，+∞）上是减函数．
即函数f（x）=

2

x-1

在[2，6]上是减函数，
∴当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=2，
当x=6时，函数f（x）取得最小值f（6）=

2

5

．

点评：本题主要考查函数单调性的证明以及分式函数的单调性的性质的应用，利用单调性的定义是解决此类问题的基本方法．