【题目】《中国诗词大会》是中央电视台最近新推出的一档有重大影响力的大型电视文化节目,今年两会期间,教育部部长陈宝生答记者问时给予其高度评价。基于这样的背景,山东某中学积极响应,也举行了一次诗词竞赛。组委会在竞赛后,从中抽取了100名选手的成绩(百分制),作为样本进行统计,作出了图中的频率分布直方图,分析后将得分不低于60分的学生称为“诗词达人”,低于60分的学生称为“诗词待加强者”.
(Ⅰ)根据已知条件完成下面2×2列联表,并据此判断是否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“诗词达人”与性别有关?
诗词待加强者 | 诗词达人 | 合计 | |
男 | 15 | ||
女 | 45 | ||
合计 |
(Ⅱ)将频率视为概率,现在从该校大量参与活动的学生中用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取3次,记被抽取的3人中“诗词达人”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列、数学期望和方差.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)2×2列联表如下:
诗词待加强者 | 诗词达人 | 合计 | |
男 | 40 | 15 | 55 |
女 | 20 | 25 | 45 |
合计 | 60 | 40 | 100 |
易知的观测值....................4分
因为8.249>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“诗词达人”与性别有关...............5分
(Ⅱ)由频率分布直方图可知从中任意抽取1名学生恰为“诗词达人”的概率为,..............6分
由题意可知~,的所有可能取值为0,1,2,3,......................7分
,
...........9分
的分布列为
0 | 1 | 2 | 3 | |
..................................................................10分
................................................11分
. ......................................12分
【命题意图】本题主要考查频率分布直方图、变量的相关性以及分布列、数学期望、方差的知识,考查学生统计思想的建立和应用以及运算求解的能力.
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【题目】2016年新高一学生入学后,为了了解新生学业水平,某区对新生进行了素质测查,随机抽取了50名学生的数学成绩(均低于100分),其相关数据统计如下:
分数段 | 频数 | 选择题≥24分 |
5 | 2 | |
10 | 4 | |
15 | 12 | |
10 | 6 | |
5 | 4 | |
5 | 5 |
(1)若全区高一新生有5000人,试估计成绩不低于60分的人数;
(2)根据表格数据试估计全区新生数学的平均成绩(同一分数段的数据取该区间的中点值作为代表,如区间的中点值为75);
(3)从成绩在中抽取选择题得分不低于24分的3名学生进行具体分析,求至少有2名学生成绩在内的概率.
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求a的取值范围
(3)若x∈[t,t+2],试求y=f(x)的最小值.
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【题目】设函数
(1)若不等式对恒成立,求的值;
(2)若在内有两个极值点,求负数的取值范围;
(3)已知,若对任意实数,总存在实数,使得成立,求正实数的取值集合.
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【题目】已知函数为偶函数.
(1)求实数的值;
(2)记集合, , ,判断与的关系;
(3)当 (m>0,n>0)时,若函数f(x)的值域为[2-3m,2-3n],求m,n的值.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应边分别是a,b,c,c=2,sin2A+sin2B﹣sin2C=sinAsinB.
(1)若sinC+sin(B﹣A)=2sin2A,求△ABC面积;
(2)求AB边上的中线长的取值范围.
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【题目】设G为△ABC的重心,过G作直线l分别交线段AB,AC(不与端点重合)于P,Q.若 =λ , =μ .
(1)求 的值;
(2)求λμ的取值范围.
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【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 且Sn=2n﹣1.数列{bn}满足b1=2,bn+1﹣2bn=8an .
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)证明:数列{ }为等差数列,并求{bn}的通项公式.
(3)求{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知函数f(x)= (k>0).
(1)若f(x)>m的解集为{x|x<﹣3或x>﹣2},求不等式5mx2+ x+3>0的解集;
(2)若存在x>3使得f(x)>1成立,求k的取值范围.
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