Question

已知一直线l与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1相交于A、B两点，且弦AB的中点为P（2，1）．
（I）求直线l的方程；
（II）求|AB|的长．

Answer 1

分析：（I）先假设直线方程，在与椭圆方程联立得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，利用中点坐标公式即可求；
（II）由（I）得x1+x2=4，x1x2=

10

3

，从而可求|AB|的长．

解答：解：（I）若斜率不存在，则由椭圆的对称性及弦AB的中点为P（2，1），知不成立
若斜率存在，设斜率为k则直线的方程为：y-1=k（x-2），∴y=kx+1-2k，
代入椭圆方程得：x²-2（kx+1）-2k²=8，
整理得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，①
设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则x1+x2=

4k(2k-1)

2k2+1

=4，
解得：k=-1，即1的方程为：x+y-3=0
（注：也可用点差法求解）
（II）当k=-1时，方程①为：3x²-12x+10=0，
∴x1+x2=4，x1x2=

10

3

．
∴|AB|=

2

16-4× 10 3

=

4

3

3

；

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线相交时的中点弦问题，通常利用设而不求的方法，应注意进行验证，求弦长时可直接利用弦长公式求解．