Question

点Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4．
（1）求动点Q的轨迹C；
（2）直线l过点M（1，0）交曲线C于A、B两点，点P满足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB)

，

EP

•

AB

=0，又

OE

=（x₀，0），其中O为坐标原点，求x₀的取值范围；
（3）在（2）的条件下，△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l的方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于题设条件中知Q位于直线x=-3右侧，且到点F（-1，0）与到直线x=-3的距离之和等于4，故可设出Q（x，y），利用距离之和等于建立方程，整理出动点Q的轨迹C的方程；
（2）先处理条件点P满足

FP

=

1

2

(

FA

+

FB)

，

EP

•

AB

=0，又

OE

=（x₀，0），得出P是AB中点，E是线段AB垂直平分线与X轴交点，设出直线l的方程为y=k（x-1），代入轨迹C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）找出l与C有两个不同交点的条件

△=(4-2k2)2-4k4＞0 -3＜ 4-2k2 -2k2 ＜0 f(-3)＞0 f(0)＞0

，解出引入的参数k的取值范围，再由根与系数的关系解出AB中点P的坐标（用k表示），得出直线EP的方程，再研究E点的横坐标求出x₀的取值范围；
（3）不妨先假设可以，则须有2x_P=x_E+x_F，即：2(1-

2

k2

)=-1-

2

k2

-1，解得：k2=

1

2

，这与（2）中的条件矛盾，即可说明这样的直线不存在

解答：解：（1）Q（x，y），则|QF|+x+3=4（x＞-3），即：

(x+1)2+y2

+x+3=4(x＞-3)，化简得：y²=-4x（-3＜x≤0）．
所以，动点Q的轨迹为抛物线y²=-4x位于直线x=-3右侧的部分．…（4分）
（2）因为

FP

=

1

2

(

FA

+

FB)

，所以，P为AB中点；又因为

EP

•

AB

=0，且

OE

=（x₀，0），所以，点E为线段AB垂直平分线与x轴交点．
由题可知：直线l与x轴不垂直，所以可设直线l的方程为y=k（x-1），代入轨迹C的方程得到：k²x²+（4-2k²）x+k²=0（-3＜x≤0）（*）
设f（x）=k²x²+（4-2k²）x+k²，要使得l与C有两个不同交点，需且只需

△=(4-2k2)2-4k4＞0 -3＜ 4-2k2 -2k2 ＜0 f(-3)＞0 f(0)＞0

解之得：

3

4

＜k2＜1．
由（*）式得：xA+xB=

2k2-4

k2

，所以，AB中点P的坐标为：xP=

xA+xB

2

=1-

2

k2

，yP=k(xF-1)=-

2

k

．
所以，直线EP的方程为y+

2

k

=-

1

k

(x-1+

2

k2

)
令y=0得到点E的横坐标为xE=-1-

2

k2

．
因为

3

4

＜k2＜1，所以，x_E∈（-

11

3

，-3）．…（10分）
（3）不可能．…（11分）
要使△PEF成为以EF为底的等腰三角形，需且只需2x_P=x_E+x_F，即：2(1-

2

k2

)=-1-

2

k2

-1，解得：k2=

1

2

．
另一方面，要使直线l满足（2）的条件，需要

3

4

＜k2＜1，所以，不可能使△PEF成为以EF为底的等腰三角形．…（14分）

点评：本题考查求轨迹方程，解题的关键是理解题意，由题设中所给的等量关系建立方程求出轨迹方程，本题第二小题的求解要注意位置关系与方程的转化，由此得出两曲线有两个交点的条件，从而研究出点的横坐标的取值范围，本题中第三小题的求解用到了反证法的思想，先假设问题成立，由此出发推出矛盾，本题综合性强，转化灵活，涉及到的知识方法较多，解题时要注意体会总结知识的用法技巧与转化技巧，本题易因为不知怎么转化而导致无法解题