Question

P是椭圆上一点，F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，|F₁F₂|=2c，过P作直线l：的垂线，垂足为Q，若PQF₁F₂是平行四边形，则椭圆的离心率取值范围是_    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意得，若PQF₁F₂是平行四边形，如图，由图可知，椭圆上存在一点，使得它到左准线的距离小于焦距即可，而椭圆上的点到左准线的距离的最小值为左顶点到左准线的距离，从而建立关于e的不等关系，求解即得椭圆的离心率取值范围．
解答：解：若PQF₁F₂是平行四边形，如图，
由图可知，椭圆上存在一点，使得它到左准线的距离小于焦距即可，
而椭圆上的点到左准线的距离的最小值为左顶点到左准线的距离，即a-，
∴a-＜2c，
即：2c²+ac-a²＞0，
从而2e²+e-1＞0⇒e＞
又椭圆的离心率e＜1，
则椭圆的离心率取值范围是．
点评：本小题主要考查椭圆的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．