Question

已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于（  ）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

B

解析试题分析：根据题意可知，ABC的中心为O，连CO并延长交AB于D，过B1作B1E⊥AB交AB的延长线于E，再过B1作B1F⊥平面ABC交平面ABC于F。
设AB＝a。∵AB＝AC＝BC＝a，O是△ABC的中心，∴CD⊥AD、AD＝BD＝，∴CD＝
显然有：。
∵O是在平面ABC上的射影，∴O⊥平面ABC，∴AD⊥，又AD⊥CD、CD∩＝O，∴AD⊥平面，∴AD⊥。
由＝a、AD＝、⊥，得：。∵⊥平面ABC，∴⊥
由、、⊥，得：
＝
∵⊥、⊥，∴∥
∵是三棱柱，∴。
由∥,得：是平行四边形，∴＝、=a显然，有：AE＝AD＋DE＝＋a＝。
∵⊥平面ABC,⊥平面ABC，∴∥，∴共面。
∵是三棱柱，∴∥平面ABC，而平面ABC∩平面＝OF，∴∥OF。由∥、∥OF，得：是平行四边形，∴＝＝
∵⊥平面ABC，∴⊥AF。，得：sin∠＝＝
考点：本试题考查了线面角的求解知识。
点评：对于该试题中的线面角的求解，关键是建立线面垂直的背景，同时根据已知的边长和侧棱长的关系式得到角度，进而求解运算，属于难度试题。