Question

【题目】已知函数（其中为常数）.

（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若在上的最大值为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）对函数进行求导，再利用参变分离，将问题转化为恒成立问题；

（2）对函数进行求导得，再对分成三种情况，即、、进行分类讨论，分别求出最大值，进而得到的值.

（1）由可得，

由在上单调递增可得在上恒成立，

即，，由可得，

故只需，，即实数的取值范围是.

（2）由（1）可知，

①当，即时，在(1，2)上恒成立，

故在(1，2)上单调递增，则在[1，2]上的最大值为，

故，满足；

②当，即时，在(1，2)上恒成立，

故在(1，2)上单调递减，则在[1，2]上的最大值为，

故，不满足，舍去；

③当，即时，由可得.

时，；当时，，

即在上单调递增，在上单调递减，

故的最大值为，即，

所以，，不满足，舍去.

综上可知，.