Question

已知向量

a

=（2cos²x，

3

），

b

=（1，sin2x），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=1且f（A）=3，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式滑进函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+1，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得f（x）的单调递增区间．
（Ⅱ）由 a=1且f（A）=3，求得A=

π

6

．再由余弦定理以及基本不等式求得 bc≤

a2

2(1-cosA)

，可得 S=

1

2

bc sinA≤

a2•sinA

4(1-cosA)

=

2+ 3

4

．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=

a

•

b

=2cos²x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

）+1，…（3分）
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
故 f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．…（6分）
（Ⅱ）∵a=1且f（A）=3，∴sin（2A+

π

6

）=1，由于 0＜A＜π，即 A=

π

6

．
又 a²=b²+c²-2bc•cosA 及  b²+c²≥2bc，∴bc≤

a2

2(1-cosA)

，…（9分）
∴S=

1

2

bc sinA≤

a2•sinA

4(1-cosA)

=

2+ 3

4

，当且仅当 b=c时，取“=”．
∴S的最大值为

2+ 3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，正弦函数的增区间，以及基本不等式的应用，属于中档题．