Question

正三棱台的上、下底边长为2和4．
（Ⅰ）若该正三棱台的高为 1，求此三棱台的侧面积；
（Ⅱ）若侧面与底面所成的角是60°，求此三棱台的体积；
参考公式：台体的体积公式V_台体=

1

3

h(S+

SS′

+S′)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中点D₁，DO₁，O分别为△A₁B₁C₁，△ABC的中心，过D₁作D₁M⊥DC，利用三棱台的侧面积公式，即可求得结论；
（Ⅱ）确定台体的高，再确定上、下底的面积，即可求此三棱台的体积．

解答：解：（Ⅰ）取A₁B₁，AB中点D₁，D，O₁，O分别为△A₁B₁C₁，△ABC的中心，过D₁作D₁M⊥DC，则D1C1=

3

，DC=2

3

从而D1O1=

3

3

，DO=

2 3

3

，∴DM=

3

3

，
∵D₁M=1，∴D1D=

2 3

3

∴S侧=3×

(2+4)× 2 3 3

2

=6

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在直角△D₁DM中，∠D₁DM=60°，即侧面与底面所成的角，故台体的高为1，
∵正三棱台的上、下底边长为2和4
∴S△A1B1C1=

3

，S△ABC=4

3

∴V台=

1

3

×1×(

3

+

3 ×4 3

+4

3

)=

7 3

3

点评：本题考查求此三棱台的侧面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．