Question

19．已知函数f（x）=（x-1）²+a（lnx-x+1）（其中a∈R，且a为常数）
（1）若对于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导f′（x）=2（x-1）+a（$\frac{1}{x}$-1）=（x-1）（2-$\frac{a}{x}$），且f（1）=0+a（ln1-1+1）=0，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得；
（2）化简f（x）+a+1=（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1，从而讨论以确定函数的单调性，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）²+a（lnx-x+1），
∴f′（x）=2（x-1）+a（$\frac{1}{x}$-1）=（x-1）（2-$\frac{a}{x}$）；
且f（1）=0+a（ln1-1+1）=0，
①当a≤2时，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
故f（x）＞=f（1）=0；
②当a＞2时，
可知f（x）在（1，$\frac{a}{2}$）上是减函数，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上是增函数；
故f（$\frac{a}{2}$）＜0；
综上所述，a≤2；
（2）f（x）+a+1=（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1，
当a＜0时，f（x）+a+1在（0，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1）=+∞，
f（1）+a+1=a+1，f（2）+a+1=1+a（ln2-1）+a+1；
故a+1=0或1+a（ln2-1）+a+1＜0；
故a=-1或a＜-$\frac{2}{ln2}$；
当a=0时，f（x）+a+1=（x-1）²+1＞0，故不成立；
当0＜a＜2时，
f（x）+a+1在（0，$\frac{a}{2}$]上是增函数，在（$\frac{a}{2}$，1]上是减函数，在（1，2]上是增函数；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1）=-∞，
f（1）+a+1=a+1＞0，
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，
当a=2时，f（x）+a+1=（x-1）²+2（lnx-x+1）+2+1=（x-1）²+2（lnx-x+1）+3，
故f（x）在（0，2]上是增函数；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（（x-1）²+2（lnx-x+1）+3）=-∞，f（1）=3＞0；
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一个实根，
综上所述，a＜-$\frac{2}{ln2}$或a=-1或0＜a≤2．

点评 本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根与函数的零点的关系应用．