Question

【题目】已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1．
（1）证明{an+ }是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）证明： + +…+ ＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）证明： =3，

∵ ≠0，

∴数列{an+ }是以首项为 ，公比为3的等比数列；

∴an+ = = ，即 ；

（2）证明：由（1）知 ，

当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴ ＜ = ，

∴当n=1时， 成立，

当n≥2时， + +…+ ＜1+ …+ = = ＜ ．

∴对n∈N+时， + +…+ ＜ ．

【解析】（1）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即 =常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{an}的通项公式；（2）将 进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握等比数列的基本性质({an}为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列;{an}既是等差数列又是等比数列== {an}是各项不为零的常数列)的相关知识才是答题的关键．