Question

集合A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）当A中的元素x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
（3）当x∈R时，若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1））①当B为空集时，得m+1＞2m-1，则m＜2
②当B不为空集时，m+1≤2m-1，得m≥2
由B⊆A可得m+1≥-2且2m-1≤5
得2≤m≤3
故实数m的取值范围为m≤3
（2）当x∈Z时，A={-2，-1，0，1，2，3，4，5}
求A的非空真子集的个数，即不包括空集和集合本身，
所以A的非空真子集个数为2⁸-2=254
（3）因为x∈R，且A={x|-2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m-1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立，
则①若B=∅，即m+1＞2m-1，得m＜2时满足条件；
②若B≠∅，则要满足的条件是
m+1≤2m-1且m+1＞5
或m+1≤2m-1且2m-1＜-2，
解得m＞4．
综上，有m＜2或m＞4．
分析：（1）若B⊆A，求实数m的取值范围进要注意B是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．
（2）需要知道集合中元素的具体个数，然后套用子集个数公式：2ⁿ．
（3）根据题意，需要进行分类讨论，当B=φ和B≠φ时，然后列出关系式即可求出结果．
点评：若B⊆A，需要注意集合B能否是空集，必要时要进行讨论；当一个集合里元素个数为n个时，其子集个数为：2ⁿ，真子集个数为：2ⁿ-1．