已知函数f(x)=x-xlnx ,

,其中

表示函数f(x)在
x=a处的导数,a为正常数.
(1)求g(x)的单调区间;
(2)对任意的正实数

,且

,证明:
(3)对任意的

第一问中利用导数的,

,

然后判定

的单调性。
第二问中,对任意的正实数

,且

,取

,则

,由(1)得

,所以,

同理取

,则

,由(1)得

,
所以,

,综合克的结论。
第三问中,对k=1,2,3…n-2,令

,则

,
显然1<x<x+k,,所以

,
利用放缩法证明。
解:(1)

,

,


. …………………2分
所以,

时,

,

单调递增;

时,

,

单调递减.
所以,

的单调递增区间为

,单调递减区间为

. ………4分
(2)(法1)对任意的正实数

,且

,
取

,则

,由(1)得

,
所以,

……①; ………………………6分
取

,则

,由(1)得

,
所以,

……②.
综合①②,得结论. ………………………8分
(3)对k=1,2,3…n-2,令

,则

,
显然1<x<x+k,,所以

,
所以

,

在

上单调递减.
由

,得

,即

.

. ……………10分
所以

所以,

.…………14分
练习册系列答案
相关习题
科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
函数


.
(Ⅰ) 当

时,求证:

;(4分)
(Ⅱ) 在区间

上


恒成立,求实数

的范围。(4分)
(Ⅲ) 当

时,求证:

)

.(4分)
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数f(x)=e
x-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x)

1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x
1, f(x
1)),B(x
2, f(x
2))(x
1<x
2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x
0∈(x
1,x
2),使

恒成立.
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数

(1)若函数

在

上为增函数,求正实数

的取值范围;
(2)当

时,求

在

上的最大值和最小值;
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数

,
(1)求

的单调区间和极值。 (2)求

在

上的最大值和最小值。
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数

.(

)
(1)若

在区间

上单调递增,求实数

的取值范围;
(2)若在区间

上,函数

的图象恒在曲线

下方,求

的取值范围.
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科目:高中数学
来源:不详
题型:解答题
已知函数

,

.

(Ⅰ)若函数

的图象在

处的切线与直线

平行,求实数

的值;
(Ⅱ)设函数

,对满足

的一切

的值,都有

成立,求实数

的取值范围;
(Ⅲ)当

时,请问:是否存在整数

的值,使方程

有且只有一个实根?若存在,求出整数

的值;否则,请说明理由.
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