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(坐标系与参数方程选做题)
(1)在极坐标系中,设圆ρ=4上的点到直线ρ(cosθ+
3
sinθ)=6
的距离为d,求d的最大值;
(2)θ取一切实数时,连接A(4sinθ,6cosθ)和B(-4cosθ,6sinθ)两点的线段的中点为M,求点M的轨迹.
分析:(1)欲求d的最大值,即求出圆上一点何时到直线的距离最大,先将圆p=4和直线p(cosθ+
3
sinθ)=6的极坐标方程化成直角坐标方程,再结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得.
(2)先利用中点坐标公式得点A,B与点M坐标之间的关系,得出其坐标适合的参数方程,最终消去参数即可得到点M轨迹的普通方程.
解答:解:(1)将极坐标方程p=4转化为普通方程:x2+y2=16,
p(cosθ+
3
sinθ)=6可化为x+
3
y=6,
在x2+y2=16上任取一点A(4cosa,4sina),则点A到直线的距离为
d=
|4cosa+4
3
sina-6|
2
=
|8sin(a+30°)-6|
2
,它的最大值为7.
∴d的最大值为7.
(2)∵点M(x,y)是线段AB的中点,
∴x=
4sinθ-4cosθ
2
,y=
6cosθ+6sinθ
2

即 x=2sinθ-2cosθ,y=3cosθ+3sinθ
消去参数θ得
x2
8
+
y2
18
=1

∴轨迹为焦点在y轴上的椭圆
x2
8
+
y2
18
=1
点评:本题考查轨迹方程、点的极坐标和直角坐标的互化,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
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π
2
)中,曲线ρ=2sinθ与ρ=2cosθ的交点的极坐标为
2
π
4
2
π
4

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(坐标系与参数方程选做题)
曲线
x=t
y=
1
3
t2
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(2,
π
6
(2,
π
6

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π
3
),B(3,
3
),O是极点,则△AOB的面积等于
3
3
4
3
3
4

(2)(不等式选做题)关于x的不等式|
x+1
x-1
|>
x+1
x-1
的解集是
(-1,1)
(-1,1)

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π3
),则过点P且平行于极轴的直线的极坐标方程为
 

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