Question

（2013•乐山二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，PA⊥面ABCD，点M、N分别为BC、PA的中点，且PA=AB=2．
（1）证明：BC⊥面AMN；
（2）在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥面ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据四边形ABCD为含有60°角的菱形，证出△ABC为正三角形，从而得到BC⊥AM．由PA⊥平面ABCD，证出PA⊥BC，结合线面垂直的判定定理，证出BC⊥面AMN；
（2）取PD中点E，连结NE、EC、AE．利用三角形的中位线定理，结合菱形的性质证出四边形MNEC是平行四边形，从而证出MN∥EC，根据线面平行的判定定理即可证出MN∥平面ACE．从而得到存在PD中点E使得NM∥面ACE，可得此时PE的长为

2

．

解答：解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC
又∵∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，得AB=BC=CA
∵M是BC的中点，∴BC⊥AM
∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC
∵PA、AM是平面AMN内的相交直线，∴BC⊥面AMN；
（2）线段PD上存在一点E，且当E为PD中点时，有NM∥面ACE．
证明如下
取PD中点E，连结NE、EC、AE
∵△PAD中，N、E分别为PA、PD的中点，∴NE∥AD且NE=

1

2

AD
又∵菱形ABCD中，MC∥AD且MC=

1

2

AD
∴MC∥NE且MC=NE，可得四边形MNEC是平行四边形
∴MN∥EC，
∵MN?平面ACE，EC?平面ACE，∴MN∥平面ACE
因此，存在PD中点E使得NM∥面ACE．此时 PE=

1

2

PD=

2

．

点评：本题在四棱锥中证明线面垂直，并探索线面平行的存在性问题．着重考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质和空间线面平行与线面垂直的判定等知识，属于中档题．