Question

【题目】π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)求函数f(x)＝ 的单调区间；

(2) 求e3，3e，eπ，πe，3π，π3这6个数中的最大数与最小数．

Answer 1

【答案】(1) 函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)；(2) 最大数是3π，最小数是3e.

【解析】

（1）利用导数求函数f(x)＝ 的单调区间.(2)先分析得到这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中，再利用第1问的结论得到6个数中的最大数是3π，最小数是3e.

(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

因为f(x)＝，所以f′(x)＝.

当f′(x)＞0，即0＜x＜e时，函数f(x)单调递增；

当f′(x)＜0，即x＞e时，函数f(x)单调递减．

故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．

(2)因为e＜3＜π，所以eln 3＜eln π，πln e＜πln 3，即ln 3e＜ln πe，ln eπ＜ln 3π.

于是根据函数y＝ln x，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π.

故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．

由e＜3＜π及(1)的结论，得f(π)＜f(3)＜f(e)，

即＜＜.

由＜，得ln π3＜ln 3π，所以3π＞π3；

由＜，得ln 3e＜ln e3，所以3e＜e3.

综上，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.