Question

11．已知圆C：x²+y²+4x-6y-3=0．
（1）求过点M（-6，-5）的圆C的切线方程；
（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB的斜率．

Answer 1

分析 （1）由圆的方程求出圆心和半径，易得点M在圆外，当切线的斜率不存在时，切线方程为x=3．当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k，可得切线方程．
（2）当直线AB的斜率不存在时，△ABC的面积S=3$\sqrt{7}$，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，圆心（-2，3）到直线AB的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，线段AB的长度|AB|=2$\sqrt{16-{d}^{2}}$，由此能求出△OAB的最大面积和此时直线AB的斜率．

解答 解：（1）圆C：x²+y²+4x-6y-3=0，即（x+2）²+（y-3）²=16，表示以（-2，3）为圆心，半径等于4的圆．
由于点M（-6，-5）到圆心的距离等于$\sqrt{（-2+6）^{2}+（3+5）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，大于半径4，故点M在圆的外部．
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=-6符合题意．
当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y+5=k（x+6），即kx-y+6k-5=0，
所以，圆心到切线的距离等于半径，即$\frac{|-2k-3+6k-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=4，解得k=$\frac{3}{4}$，此时，切线为3x-4y-2=0．
综上可得，圆的切线方程为x=-6，或3x-4y-2=0．
（2）当直线AB的斜率不存在时，x=1，y=3±$\sqrt{7}$，△ABC的面积S=3$\sqrt{7}$
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y-3=k（x-1），即kx-y+3-k=0，
圆心（-2，3）到直线AB的距离d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
线段AB的长度|AB|=2$\sqrt{16-{d}^{2}}$，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\sqrt{{d}^{2}（16-{d}^{2}）}$≤$\frac{{d}^{2}+（16-{d}^{2}）}{2}$=8
当且仅当d²=8时取等号，此时$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，解得k=±2$\sqrt{2}$．
所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，具体涉及到圆的基本性质和圆的切线方程、三角形最大面积的求法和直线的斜率等知识点，注意切线的斜率不存在的情况，属于中档题．