Question

【题目】已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{cn}的前n项和.

Answer 1

【答案】（1）an＝2n－1，n∈N*；bn＝2n－1，n∈N*.（2）

【解析】

(Ⅰ)根据各项均为正项的等比数列，求得q的表达式，进而求得q与d的值。由a1＝b1＝1，求得{an}和{bn}的通项公式。

(Ⅱ)数列Cn是由{}与的和组成的新数列求和，分别利用错位相减法和等差数列求和，再合并在一起。

解：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q＞0.

由已知，有 消去d，整理得q4－2q2－8＝0，

又因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2.

所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；

数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.

(Ⅱ)由(1)有，设{}的前n项和为Sn，的前n项和为则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，

2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，

上述两式相减，得

－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，

所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*

.＝

所以数列的前n项和为.