Question

已知椭圆的中心在原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，短轴的一个端点为P．
（1）若长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；
（2）若∠F₁PF₂为直角，求椭圆的离心率；
（3）若∠F₁PF₂为锐角，求椭圆的离心率的范围．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a²=b²+c²，P（0，±b）结合（1）长轴长为4，焦距为2，得a=2，c=1（2）b=c（3）c＜b求解计算

解答： 解：∵椭圆的中心在原点，两焦点F₁，F₂在x轴上，短轴的一个端点为P．
∴方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，a²=b²+c²，P（0，±b）
（1）∵长轴长为4，焦距为2，∴a=2，c=1，b=

3

，
∴方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）∵∠F₁PF₂为直角
∴b=c，a²=b²+c²，a²=2c²，
e=

c

a

=

2

2

，
即椭圆的离心率

2

2

，
（3）∵∠F₁PF₂为锐角，
∴c＜b，a²=b²+c²，
c²＜a²-c²，
2c²＜a²，

c

a

＜

2

2

∴椭圆的离心率的范围为（0，

2

2

）

点评：本题考查了椭圆的方程，几何性质，属于计算题，难度不大．