Question

已知动圆M和圆C₁：（x+1）²+y²=9内切，并和圆C₂：（x-1）²+y²=1外切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）过圆C₁和圆C₂的圆心分别作直线交（1）中曲线于点B、D和A、C，且AC⊥BD，垂足为P（x₀，y₀），设点E（-2，-1），求|PE|的最大值；
（3）求四边形ABCD面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据两圆外切和内切的判定，圆心距与两圆半径和差的关系，设出动圆半径为r，消去r，根据圆锥曲线的定义，即可求得动圆圆心M的轨迹，进而可求其方程．
（2）首先有点P在以线段C₁C₂为直径的圆上，再表达出|PE|，从而求出最大值；
（3）分两类：①当AC⊥x轴或BD⊥x轴时，②当AC、BD均不垂直于x轴时，联立直线与椭圆方程，从而表达出BD，AC的长，进而可求面积最小，将两者比较，可得结论．

解答：解：（1）设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则

|MC1 =3-r  |MC2 =1+r

  ⇒ |MC1|+|MC2| =4．…（3分）
故动点M的轨迹是椭圆，a=2 ， c=1 ， b=

3

，其方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（5分）
（2）显然点P在以线段C₁C₂为直径的圆上，x₀²+y₀²=1．…（7分）
设

x0=cosθ y0=sinθ

，则|PE| =

(cosθ+2)2+(sinθ+1)2

=

6+4cosθ+2sinθ

=

6+2 5 sin (θ+?)

，
故所求最大值为

6+2 5

=

5

+1．（也可数形结合，求得|PE|max = |EO|+1=

5

+1．）…（10分）
（3）当AC⊥x轴或BD⊥x轴时，S=

1

2

|BD|•|AC| =

1

2

•4•3=6．…（11分）
当AC、BD均不垂直于x轴时，联立

3x2+4y2=12 y=k ( x+1 )

⇒( 3+4k2) x2+8k2x+4k2-12=0，…（12分）|BD| =

1+k2

•|x1-x2| =

1+k2

•

144 ( 1+k2)

3+4k2

=

12 ( 1+k2)

3+4k2

，同理可得|AC| =

12 ( k2+1 )

3k2+4

．…（14分）S=

1

2

|BD|•|AC| =

72 ( k2+1 )2

( 3+4k2) ( 3k2+4 )

≥

72 ( k2+1 )2

(  7k2+7 2  )2

=

288

49

，当且仅当k²=1时，Smin=

288

49

．（15分）
又6＞

288

49

，∴四边形ABCD面积的最小值为

288

49

．…（16分）

点评：本题主要考查两圆的位置关系及判定方法和椭圆的定义和标准方程，考查最值问题