Question

如果正三棱锥的侧面均为直角三角形，侧面与底面所成的角为α，则α的值是

arcos

3

3

．

Answer 1

分析：根据所给的正三棱锥的特点，根据三垂线定理做出二面角的平面角，在直角三角形中做出要用的两条边的长度，根据三角函数的定义得到角的余弦值，得到角．

解答：解：过A做地面的垂线AO，在面ABC上，做BC的垂线AE，连接EO，
则∠AEO就是要求的二面角的平面角，
设侧棱长是1，在等腰直角三角形中AE=

1

2

BC=

2

2

，

EO=

1

3

DE= 

1

3

2

×

3

2

=

6

6

，
∴cosα=

6 6

2 2

=

3

3

，
∴α=arccos

3

3

故答案为：arccos

3

3

点评：本题看出二面角的平面角及其求法，本题解题的关键是做出二面角的平面角，把角放到一个可解的直角三角形中来做出结果，本题是一个中档题目．