Question

已知点A、B是抛物线y=x²上的两个不同于坐标原点O的动点,且=0.

(1)求以AB为直径的圆的圆心的轨迹方程;

(2)过A、B分别作抛物线的切线,证明两切线交点M的纵坐标为定值.

Answer 1

解：(1)设A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),AB中点Q(x,y),                                  

∵=0,∴x₁x₂+x₁²x₂²=0.

又x₁≠0,x₂≠0,

∴x₁x₂=-1.3分

又∵                                                         

则y=［x₁²+x₂²］=［(x₁+x₂)²-2x₁x₂］=(4x²+2)=2x²+1.

∴AB为直径的圆的圆心的轨迹方程为y=2x²+1.                                  

(2)由y=x²,得y′=2x.                                                         

∴过A点的切线方程为y-x₁²=2x₁(x-x₁),即y=2x₁x-x₁²,                              ①

同理,过B点的切线方程为y=2x₂x-x₂².                                        ②

设M(x,y),

则x₁、x₂为方程t²-2xt+y=0的两根,

由韦达定理知x₁·x₂=y,又由(1)x₁x₂=-1,

∴y=-1,即M的纵坐标为定值-1.