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    4．教育学家分析发现加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关，某校兴趣小组为了验证这个结论，从该校选择甲、乙两个同轨班级进行实验，其中甲班加强阅读理解训练，乙班常规教学无额外训练，一段时间后进行数学应用题测试，统计数据情况如下面2×2列联表：（单位：人）
    优秀人数非优秀人数总计
    甲班22830
    乙班81220
    总计302050
    （1）能否据此判断有97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关？
    （2）经过多次测试后，小明正确解答一道数学题所用的时间在5-7分钟，小刚正确解答一道数学题所用的时间在6-8分钟，现小明、小刚同时独立解答同一道数学应用题，求小刚比小明先正确解答完的概率；
    （3）现从乙班成绩优秀的8名同学中任意抽取两人，并对他们的大题情况进行全程研究，记A、B两人中被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
    附表及公式
    P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
    k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
    K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

    分析 （1）由表中数据计算K2，对照临界值得出结论；
    （2）设小明与小刚解答这道题所用的时间分别为x、y分钟，
    写出基本事件所满足的平面区域，由几何概型计算概率值；
    （3）由题意写出X的所有可能取值，计算对应的概率，
    求出X的分布列和数学期望．

    解答 解：（1）由表中数据计算K2的观测值：K2=$\frac{50{×（22×12-8×8）}^{2}}{30×20×30×20}$≈5.556＞5.024．
    所以根据统计有97.5%的把握认为加强语文阅读理解训练与提高数学应用题得分率有关；
    （2）设小明与小刚解答这道题所用的时间分别为x、y分钟，
    则基本事件所满足的条件是$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$所表示的平面区域；
    设事件A为“小刚比小明先解答完试题”，则满足的区域为x＞y；
    由几何概型的概率，计算P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$，
    ∴小刚比小明先正确解答完的概率是$\frac{1}{8}$；
    （3）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，则P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{28}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{2}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{12}{28}$，P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{1}{28}$；
    ∴X的分布列为：

    X012
    P$\frac{15}{28}$$\frac{12}{28}$$\frac{1}{28}$
    X的数学期望为EX=所以E（X）=0×$\frac{15}{28}$+1×$\frac{12}{28}$+2×$\frac{1}{28}$=$\frac{1}{2}$．

    点评 本题考查了独立检验以及离散型随机变量的分布列和数学期望的求法问题，是综合题．

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    14．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足${S_n}=2{a_n}-{2^n}（n∈{N^*}）$．
    （1）证明$\{\frac{a_n}{2^n}\}$是等差数列，并求{an}的通项公式；
    （2）求数列{an}的前n项和Sn．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-6x+6，x≥0}\\{3x+4，x＜0}\end{array}\right.$，若互不相等的实数x1，x2，x3，满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1•x2•x3的取值范围是（-21，0）．

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    12．某校高三年级共有学生195人，其中女生105人，男生90人．现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13人进行问卷调查．设其中某项问题的选择分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．
    同意不同意合计
    女学生437
    男学生4           26
    （Ⅰ）完成上述统计表；
    （Ⅱ）根据上表的数据估计高三年级学生该项问题选择“同意”的人数；
    （Ⅲ） 从被抽取的女生中随机选取2人进行访谈，求选取的2名女生中至少有一人选择“同意”的概率．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    19．设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，x∈[0，π]}\\{1，x∈（π，2π]}\end{array}\right.$则${∫}_{0}^{2π}$f（x）dx=π．

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    9．对任意函数f（x），x∈D，可按如图所示，构造一个数列发生器，其工作原理如下：
    ①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；
    ②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，将x1反馈输入端，再输出x2=f（x1），并以此规律进行下去，现定义$f（x）=\frac{4x-2}{x+1}$．
    （1）若输入${x_0}=\frac{49}{65}$，则由数列发生器产生数列{xn}，写出数列{xn}的所有项；
    （2）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：选择题

    16．平面直角坐标系中，O为原点，A、B、C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}$，则$\frac{|\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AC}|}$=（　　）
    A．1B．2C．3D．$\frac{3}{2}$

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    13．已知函数$f（x）={（{log_2}x）^2}-{log_2}{x^2}+3$，当x∈[1，4]时，f（x）的最大值为m，最小值为n．
    （1）若角α的终边经过点P（m，n），求sinα+cosα的值；
    （2）设$g（x）=mcos（nx+\frac{π}{m}）-n$，h（x）=g（x）-k在$[0，\frac{π}{2}]$上有两个不同的零点x1，x2，求k的取值范围．

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    17．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x-1}$，a∈R
    （Ⅰ）当a=$\frac{3}{4}$时，讨论函数f（x）的单调性；
    （Ⅱ）当$a∈[\frac{1}{2}，\;2\;）$时，若${x_1}∈（\;0\;，\frac{1}{2}\;）$，x2∈（2，+∞），求证：f（x2）-f（x1）≥ln2+$\frac{3}{4}$．

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