Question

设S_n是等比数列{a_n}的前n项和，
（1）若S₃，S₉，S₆成等差数列，求证：a₂，a₈，a₅成等差数列．
（2）设p，r，t，k，m，n∈N*，且p，r，t成等差数列，若pS_k，rS_m，tS_n成等差数列，试判断pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1三者关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设{a_n}的公比为q，根据等比数列的前n项和公式及2S₉=S₆+S₃，建立关于q的方程解出q³=-，从而化简得a₂+a₅-2a₈=0，所以a₂，a₈，a₅成等差数列．
（2）根据题意，可得2rS_m=pS_k+tS_n，当q=1时，结合2r=p+t不难推出2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1成立，即pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1成等差数列．当q≠1时，根据等比数列的通项与求和公式，化简等式2rS_m=pS_k+tS_n得到2ra₁q^m=pa₁q^k+ta₁qⁿ，即2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．由此可得若pS_k，rS_m，tS_n成等差数列，则pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1成等差数列．
解答：解：（1）依题意，设等比数列{a_n}的公比为q，
可得2S₉=S₆+S₃，即2=+
整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1或-，
∵q=1时，2S₉=S₆+S₃不成立
∴q³=-，
可得a₂+a₅-2a₈=a₂（1+q³-2q⁶）=a₂（1--2×）=0
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差数列．
（2）设等比数列{a_n}的公比为q，
由pS_k，rS_m，tS_n成等差数列，可得2rS_m=pS_k+tS_n，
当q=1时，a_k+1=a_m+1=a_n+1=a₁，结合2r=p+t得到2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．
当q≠1时，由2rS_m=pS_k+tS_n结合等比数列前n项和公式，
化简得2ra₁（1-q^m）=pa₁（1-q^k）+ta₁（1-qⁿ），
∵2r=p+t，可得2ra₁=pa₁+ta₁，
∴上式化简，得2ra₁q^m=pa₁q^k+ta₁qⁿ，即2ra_m+1=pa_k+1+ta_n+1．
综上所述，若pS_k，rS_m，tS_n成等差数列，则pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1成等差数列．
点评：本题给出等比数列满足的条件，探索pa_k+1，ra_m+1，ta_n+1是否成等差数列的问题．着重考查了等比数列的通项公式、求和公式和等差数列、等比数列之间的关系等知识，属于中档题．