Question

8．如图，O₁是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁C₁D₁的中心，M是对角线A₁C和截面B₁D₁A的交点，求证：O₁、M、A三点共线．

Answer 1

分析 由已知条件推导出O₁、M、A是平面AC₁和平面AB₁D₁的公共点，由此利用公理三能证明O₁、M、A三点共线．

解答 证明：∵O₁是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁C₁D₁的中心，
∴A₁C₁∩B₁D₁=O₁，∴O₁∈A₁C₁，且O₁∈B₁D₁，
∵A₁C₁?平面AC₁，B₁D₁?平面AB₁D₁，
∴O₁∈平面AC₁，且O₁∈平面AB₁D₁，
∵M是对角线A₁C和截面B₁D₁A的交点，
∴M∈A₁C，且M∈截面B₁D₁A，
∵A₁C?平面AC₁，
∴M∈平面AC₁，且M∈平面AB₁D₁，
∵A∈平面AC₁，且A∈平面AB₁D₁，
∴O₁、M、A是平面AC₁和平面AB₁D₁的公共点，
∴O₁、M、A三点共线．

点评 本题考查三点共线的证明，是基础题，解题时要认真审题，合理运用公理三，注意空间思维能力的培养．