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19.已知函数f(x)=$\frac{6}{x}$,g(x)=x2+1,
(1)求f[g(x)]的解析式;
(2)关于x的不等式f[g(x)]≥k-7x2的解集为一切实数,求实数k的取值范围;
(3)关于x的不等式f[g(x)]>$\frac{a}{x}$的解集中的正整数解恰有3个,求实数a的取值范围.

分析 (1)根据函数的解析式,化简f[g(x)]即可;
(2)由(1)化简f[g(x)]≥k-7x2,并分离出k变形后,利用换元法、构造法求出函数的最值,即可求出实数k的取值范围;
(3)由(1)化简f[g(x)]>$\frac{a}{x}$,结合条件将不等式化为$\frac{1}{a}>\frac{1}{6}(x+\frac{1}{x})$,利用函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质和条件,列出不等式求出实数a的取值范围.

解答 解:(1)∵函数f(x)=$\frac{6}{x}$,g(x)=x2+1,
∴f[g(x)]=f(x2+1)=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$;
(2)由(1)得,f[g(x)]≥k-7x2为:$\frac{6}{{x}^{2}+1}$≥k-7x2
即k≤$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7x2=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7(x2+1 )-7解集为一切实数,
设t=x2+1,则t≥1,设y=$\frac{6}{t}+7t-7$,
∴函数y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1,+∞)上单调递增,
∴函数y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1,+∞)上的最小值是6,则k≤6,
即实数k的取值范围是(-∞,6];
(3)由(1)得,f[g(x)]>$\frac{a}{x}$为$\frac{6}{{x}^{2}+1}>\frac{a}{x}$,
∵不等式f[g(x)]>$\frac{a}{x}$的解集中的正整数解恰有3个,
∴x>0时,有a<$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$,即$\frac{1}{a}>\frac{1}{6}(x+\frac{1}{x})$,
设不等式$\frac{1}{a}>\frac{1}{6}(x+\frac{1}{x})$的解集(x1,x2),
由函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质和条件得:
其中x1∈(0,1),x2∈(3,4],
∴$\frac{1}{6}(3+\frac{1}{3})<\frac{1}{a}≤\frac{1}{6}(4+\frac{1}{4})$,
解得$\frac{24}{17}≤a<\frac{9}{5}$,
∴实数a的取值范围是$[\frac{24}{17},\frac{9}{5})$.

点评 本题考查了函数解析式的求法,不等式恒成立问题的转化,以及构造法求出最值问题,考查转化思想和函数思想,分离常数法,化简、变形能力,属于中档题.

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