分析 (1)根据函数的解析式,化简f[g(x)]即可;
(2)由(1)化简f[g(x)]≥k-7x2,并分离出k变形后,利用换元法、构造法求出函数的最值,即可求出实数k的取值范围;
(3)由(1)化简f[g(x)]>$\frac{a}{x}$,结合条件将不等式化为$\frac{1}{a}>\frac{1}{6}(x+\frac{1}{x})$,利用函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质和条件,列出不等式求出实数a的取值范围.
解答 解:(1)∵函数f(x)=$\frac{6}{x}$,g(x)=x2+1,
∴f[g(x)]=f(x2+1)=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$;
(2)由(1)得,f[g(x)]≥k-7x2为:$\frac{6}{{x}^{2}+1}$≥k-7x2,
即k≤$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7x2=$\frac{6}{{x}^{2}+1}$+7(x2+1 )-7解集为一切实数,
设t=x2+1,则t≥1,设y=$\frac{6}{t}+7t-7$,
∴函数y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1,+∞)上单调递增,
∴函数y=$\frac{6}{t}+7t-7$在[1,+∞)上的最小值是6,则k≤6,
即实数k的取值范围是(-∞,6];
(3)由(1)得,f[g(x)]>$\frac{a}{x}$为$\frac{6}{{x}^{2}+1}>\frac{a}{x}$,
∵不等式f[g(x)]>$\frac{a}{x}$的解集中的正整数解恰有3个,
∴x>0时,有a<$\frac{6x}{{x}^{2}+1}$,即$\frac{1}{a}>\frac{1}{6}(x+\frac{1}{x})$,
设不等式$\frac{1}{a}>\frac{1}{6}(x+\frac{1}{x})$的解集(x1,x2),
由函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质和条件得:
其中x1∈(0,1),x2∈(3,4],
∴$\frac{1}{6}(3+\frac{1}{3})<\frac{1}{a}≤\frac{1}{6}(4+\frac{1}{4})$,
解得$\frac{24}{17}≤a<\frac{9}{5}$,
∴实数a的取值范围是$[\frac{24}{17},\frac{9}{5})$.
点评 本题考查了函数解析式的求法,不等式恒成立问题的转化,以及构造法求出最值问题,考查转化思想和函数思想,分离常数法,化简、变形能力,属于中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | f(x)=-$\frac{1}{x+1}$ | B. | f(x)=x2-3x | C. | f(x)=3-x | D. | f (x)=-|x| |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $x=\frac{π}{12}$ | B. | $x=-\frac{π}{12}$ | C. | $x=\frac{π}{3}$ | D. | $x=-\frac{π}{6}$ |
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com