【题目】已知函数.
(1)求的单调递增区间;
(2)若函数有两个极值点且恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)时,增区间为;时,增区间为;时,增区间为,;(2).
【解析】
(1)求出,分三种情况讨论的范围,在定义域内,令求得的范围,可得函数增区间;(2)由(1)知, 且,, 恒成立,可化为恒成立,利用导数求出函数,的最小值即可得结果.
(1)函数的定义域为,,
令,,
若时,,在恒成立,函数在上单调递增.
若,,方程,
两根为,,
当时,,,,单调递增.
当时,,,
,,单调递增,,,单调递增.
综上,时,函数单调递增区间为,
时,函数单调递增区间为,
时,函数单调递增区间为,.
(2)由(1)知,存在两个极值点时,且,,则,,且,.
此时恒成立,可化为
恒成立,
设,,
,
因为,所以,,所以,故在单调递减,
,所以实数的取值范围是.
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【题目】已知函数,
(1)当,时,求函数在上的最小值;
(2)若函数在与处的切线互相垂直,求的取值范围;
(3)设,若函数有两个极值点,,且,求的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为的菱形,,,为的中点,为的中点,点在线段上,且.
(1)求证:平面;
(2)若平面底面ABCD,且,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
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【题目】“克拉茨猜想”又称“猜想”,是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想:任给一个正整数,如果是偶数,就将它减半;如果为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算,经过有限步后,最终都能够得到1.己知正整数经过6次运算后得到1,则的值为__________.
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【题目】已知点是抛物线:上一点,且到的焦点的距离为.
(1)若直线与交于,两点,为坐标原点,证明:;
(2)若是上一动点,点不在直线:上,过作直线垂直于轴且交于点,过作的垂线,垂足为.试判断与中是否有一个为定值?若是,请指出哪一个为定值,并加以证明;若不是,请说明理由.
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【题目】某工厂,两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.
(1)从,生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.
(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的作为的值.
①已知,生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元。若从两条生产线上各随机抽检件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线挽回的损失较多?
②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件分别获利元、元、元,现从,生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测,结果统计如下图;用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为,求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.
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【题目】已知椭圆:()的左右顶点分别为,,点在椭圆上,且的面积为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线不经过点且与椭圆交于,两点,若直线与直线的斜率之积为,证明:直线过顶点.
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【题目】某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验,并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数与烧开一壶水所用时间的一组数据,且作了一定的数据处理(如下表),得到了散点图(如下图).
1.47 | 20.6 | 0.78 | 2.35 | 0.81 | -19.3 | 16.2 |
表中.
(1)根据散点图判断,与哪一个更适宜作烧水时间关于开关旋钮旋转的弧度数的回归方程类型?(不必说明理由)
(2)根据判断结果和表中数据,建立关于的回归方程;
(3)若旋转的弧度数与单位时间内煤气输出量成正比,那么为多少时,烧开一壶水最省煤气?
附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为.
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