Question

已知函数f（x）=ax²+a²x+2b-a³，当x∈（-2，6）时，其值为正，而当x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）时，其值为负．
（1）求实数a，b的值及函数f（x）的表达式；
（2）设F（x）=-f（x）+4（k+1）x+2（6k-1），问k取何值时，函数F（x）的值恒为负值？

Answer 1

解（1）由题意可知-2和6是方程f（x）=0的两根，
∴，∴，∴f（x）=-4x²+16x+48．
（2）F（x）=-（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．
当k=0时，F（x）=4x-2不恒为负值；当k≠0时，若F（x）的值恒为负值，
则有，解得k＜-2．
∴k的取值为k＜-2．
分析：（1）由题意可知：-2和6为方程f（x）=0的两根，则把两根代入到方程中求出a，b并得到函数解析式即可；
（2）把f（x）代入到F（x）=-f（x）+4（k+1）x+2（6k-1）中得到F（x）=-（-4x²+16x+48）+4（k+1）x+2（6k-1）=kx²+4x-2．然后分析k=0，k＜0，k＞0三种种情况讨论F（x），因为F（x）要恒为负数，所以得到k＜0且△＜0组成不等式组，求出解集即可．
点评：考查学生函数与方程的综合运用的能力，以及分类讨论的数学思想．