某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏．为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币（一种网络虚拟币）．该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5 慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番（即增加1倍），游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案．
（Ⅰ）设闯过n （ n∈N，且n≤12）关后三种奖励方案获得的慧币依次为An，Bn，Cn，试求出An，Bn，Cn的表达式；
（Ⅱ）如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？
【答案】
分析：（Ⅰ）第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为40，由此能求出A
n=40n；第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，由此能求出B
n的表达式；第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，由此能求出C
n的表达式．
（Ⅱ）令A
n＞B
n，即40n＞2n
2+2n，解得n＜19．由n≤12，知A
n＞B
n恒成立．令A
n＞C
n，即
，解得n＜10．故当n＜10时，A
n最大；当10≤n≤12时，C
n＞A
n．由此能够选出最佳的选择奖励方案．
解答：解：（Ⅰ）∵第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，且各项均为40，
∴A
n=40n．
第二种奖励方案闯过各项各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，
∴
，
第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，
∴
=
．
（Ⅱ）令A
n＞B
n，即40n＞2n
2+2n，解得n＜19．
∵n∈N
*，且n≤12，∴A
n＞B
n恒成立．
令A
n＞C
n，即
，解得n＜10．
∴当n＜10时，A
n最大；当10≤n≤12时，C
n＞A
n．
综上所述，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应该选用第一种奖励方案；
当你能冲过的关数大于等于10时，应该选用第三种奖励方案．
点评：本题考查数列知识在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细分析题设中的数量关系，合理地进行等价转化．
