Question

在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，类比这一结论，推广到空间：在四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=

S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ

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Answer 1

分析：这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，若△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，我们可以类比这一性质，推理出若四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．

解答：解：由已知在平面几何中，
在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b•cosC+c•cosb，
我们可以类比这一性质，推理出：
若四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，
二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
故答案为：S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．