Question

已知

a

=(2sinx，-

3

)，

b

=(sinx，sin2x)，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）若

a

⊥

b

，求x的值；
（2）若f(x)=

a

•

b

，求f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x值；
（3）令g(x)=f(x+

π

6

)，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过

a

⊥

b

，得到数量积为0，化简函数表达式，即可求x的值；
（2）通过数量积求出函数的表达式，然后化简为一个角的一个三角函数的形式，然后求f（x）的最大值及使f（x）取得最大值的x值；
（3）通过g(x)=f(x+

π

6

)，求出函数的表达式，利用奇偶性的定义直接判断函数g（x）的奇偶性，即可．

解答：解：（1）

a

=(2sinx，-

3

)，

b

=(sinx，sin2x)，

a

⊥

b

所以

a

•

b

=0，(2sinx，-

3

)•(sinx，sin2x)=0，
2sin²x-

2

sin2x=0即cos2x+

3

sin2x=0，tan2x=-

3

3

，x∈[

π

4

，

π

2

]，所以x=

5π

12

；
（2）由（1）可知：f(x)=

a

•

b

=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），所以函数的最大值为：2，此时2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z；
所以x=kπ+

π

6

，k∈Z；
（3）因为g(x)=f(x+

π

6

)=2sin（2x+

π

3

+

π

6

）=2cos2x，
因为g（-x）=2cos（-2x）=2cos2x=g（x），所以函数是偶函数．

点评：本题是中档题，通过向量的数量积，考查函数的基本性质，最大值，奇偶性的判断，函数值的求法，考查计算能力，常考题型．