Question

过正三棱台的任意两个顶点的直线有15条，其中异面直线有（ ）对．
A．12
B．24
C．36
D．48

Answer 1

【答案】分析：直接解答，先看与下底面上的一条边对应的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数即可．
解答：解：正三棱台上底面和下底面各有三条边
各个侧面均为四边形，各有六条线段，
这样每条棱被算了两次，共9条棱
∴共有3×2+3×6-9=15条直线
分三类：
①三棱台的上底面三角形中任意取一条边a，
这样在与a异面的直线一共5条，这样算3条底边
一共有3×5=15对异面直线；
②三棱台的下底面三角形中任意取一条边b，
这样在与b异面的直线一共5条，这样算3条底边
一共有3×5=15对异面直线；
③分别位于两个侧面且不在底面的异面直线：
共（3×4）÷2=6对
综上所述，所有的中异面直线有15+15+6=36对．
故选C．
点评：本题考查棱台的结构特征，异面直线的判断，排列组合的实际应用，是难题．