Question

对正整数n，设曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a_n．
（i）a_n=

（n+1）2ⁿ

；
（ii）数列{

a n

n+1

}的前n项和S_n=

2ⁿ⁺¹-2

．

Answer 1

分析：（i）求出在x=2处的切线方程，进而得到切线与y轴交点的纵坐标；
（ii）数列{

a n

n+1

}是等比数列，利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．

解答：解：（i）求导函数可得y'=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲线y=xⁿ（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n×2^n-1-（n+1）×2ⁿ
∵切点为（2，-2ⁿ），
∴切线方程为y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0，并将k代入可得a_n=（n+1）2ⁿ，
（ii）令b_n=

a n

n+1

=2ⁿ．
∴数列{

a n

n+1

}的前n项和为2+2²+2³+…+2ⁿ=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2．
故答案为：（n+1）2ⁿ，2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．