Question

【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，椭圆 过点 ，直线 交 轴于 ，且 ， 为坐标原点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 的上顶点，过点 分别作直线 交椭圆 于 两点，设这两条直线的斜率分别为 ，且 ，证明：直线 过定点．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆 过点 ，∴ ① ，

∵ ，∴ ，则 ，

∴ ②，由①②得 ，

∴椭圆 的方程为

（2）解：当直线 的斜率不存在时 ，设 ，则 ，由 得 ，得

当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ，

，

得 ，

，

即 ，

由 ，

即 ．

故直线 过定点 ．

【解析】（1）由椭圆过已知点及向量的关系得到关于a,b,c的方程组求a,b,c。
（2）将直线方程设为y=kx+m,代入椭圆方程得方程组，消去y得关于x的一元二次方程，用韦达定理将斜率和表示出来，得k,m的关系式，回代入直线方程中得直线所过定点坐标。