Question

已知关于x的方程x²+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以m、n为横纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y=log_a（x+3）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围为（ ）
A．a＞2
B．a≥2
C．1＜a＜2
D．1＜a≤2

Answer 1

【答案】分析：根据关于x的方程x²+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率，可得方程x²+mx+m+n=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞），从而可确定平面区域为D，进而利用函数y=log_a（x+3）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，可求实数a的取值范围．
解答：解：构造函数f（x）=x²+mx+m+n
∵关于x的方程x²+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率
∴方程x²+mx+m+n=0的两根，一根属于（0，1），另一根属于（1，+∞）
∴，∴
∵直线m+n=0，1+2m+n=0的交点坐标为（-1，1）
∴要使函数y=log_a（x+3）（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1＞log_a（-1+3）
∴log_a2＜1
∵a＞1
∴1＜a＜2
故选C．
点评：本题以方程根为载体，考查椭圆、双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想，确定平面区域是解题的关键．