Question

18．若4^x-5×2^x+4≤0，求y=（$\frac{1}{9}$）^x-4×（$\frac{1}{3}$）^x+2的最大值与最小值．

Answer 1

分析 根据指数不等式的解法先求出x的取值范围，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可．

解答 解：若4^x-5×2^x+4≤0，
则若（2^x）²-5×2^x+4≤0，
即（2^x-1）（2^x-4）≤0，
即1≤2^x≤4，即0≤x≤2，
则y=（$\frac{1}{9}$）^x-4×（$\frac{1}{3}$）^x+2=y=[（$\frac{1}{3}$）^x]²-4×（$\frac{1}{3}$）^x+2，
设t=（$\frac{1}{3}$）^x，则$\frac{1}{9}$≤t≤1，
则函数等价为y=t²-4t+2=（t-2）²-2，
则函在$\frac{1}{9}$≤t≤1，上为减函数，
则当t=1时，函数取得最小值为y=1-4+2=-1，
当t=$\frac{1}{9}$时，函数取得最大值为y=（$\frac{1}{9}$）²-4×$\frac{1}{9}$+2=$\frac{127}{81}$．

点评 本题主要考查复合函数单调性和最值的求解，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．